Blog de Matemática Básica

Siga el blog para obtener una mejor comprensión sobre las inecuaciones lineales con dos variables, continuidad y descontinuidad de una función y el incremento de una función (razón de cambio).

Al concluir cada lección, deberás ser capaz de: Encontrar la solución de una inecuación lineal con dos variables, coincidencia de una función y razón de cambio. Graficar la región en el plano que representa la solución de cualquier inecuación lineal en dos variables, coincidencia de una función y razón de cambio.

Nallely Castro, Klelia Garnelo, Fiorella

Acerca de Inecuaciones Lineales con dos variables image

Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y qué sólo se verifica para determinados valores de las incógnitas. Una inecuación lineal (o de primer grado) involucra solamente sumas y restas de las variables a la primera potencia, como puede ser:

ax + by ≥ c

Con a, b y c constantes y a ≠ 0; b ≠ 0; x e y incógnitas. Esta expresión es una inecuación lineal con dos variables.

Llamaremos sistema de inecuaciones lineales, al conjunto de valores que satisfagan (o verifiquen) las inecuaciones. ¿Cómo resolvemos este tipo de sistemas? Debemos hallar todos los pares de valores de x e y para los cuales se cumple la desigualdad. Su solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.

1) Transformamos las inecuaciones en una igualdad.
2) Graficamos las rectas por separado.
3) Tomamos un punto al azar que satisfaga cada inecuación. Por ejemplo tomamos el punto (0,0) y los sustituimos en ellas; si ésta se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.

Cuando una ecuación lineal está graficada en un plano cartesiano, la recta divide el plano en dos partes. Cada parte es llamada medio plano. El diagrama a continuación muestra cómo los medios planos son formados cuando graficamos una ecuación lineal.

También se puede graficar una inecuación lineal en dos variables. En vez de solo graficar la recta límite (y=mx+b), también debes incluir todos los otros pares ordenados que podrían ser soluciones para la inecuación. Esto se llama conjunto solución y se muestra sombreando o coloreando el medio plano que incluye las soluciones adecuadas.
Cuando graficamos inecuaciones en dos variables necesitamos recordar cuando el valor está incluido (≤ o ≥) o no incluido ( o ). Para representar estas inecuaciones en un plano cartesiano en vez de círculos sombreados usamos líneas punteadas. Podemos decir qué mitad del plano pertenece a la solución mirando el signo de inecuación.

La solución es el medio plano sobre la recta.
≥ La solución es el medio plano sobre la recta y también todos los puntos en la recta.
La solución es el medio plano bajo la recta.
≤ La solución es el medio plano bajo la recta y también todos los puntos en la recta.

La solución de es el medio plano sobre la recta. La línea punteada muestra que los puntos en la recta no son parte de la solución.

La solución de y≥mx+b es el medio plano sobre la recta y todos los puntos en la recta.

La solución de es el medio plano bajo la recta.

La solución de y≤mx+b es el medio plano bajo la recta y todos los puntos en la recta.

Ejemplo A
Grafica la inecuación y≥2x−3.
Solución:
Esta inecuación está en forma pendiente-intercepto. Comienza por graficar la recta. Luego determina qué medio plano se debe colorear.

La inecuación es ≥, por lo tanto la recta es sólida.

De acuerdo con la inecuación, deberías sombrear el medio plano sobre la recta límite.

10Nov

Ejemplo N°2 de inecuaciones lineales con dos variables

10/11/2018 12:20

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10Nov

Ejemplo N°1 de inecuaciones lineales con dos variables

10/11/2018 11:22

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Intuitivamente se puede decir que una función es continua cuando en su gráfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene "huecos". En la figura 8.6., aparece la gráfica de tres funciones: dos de ellas no continuas (discontinuas) en el punto x = a de su dominio (fig. 8.6. (a) y 8.6. (b)) y la otra (fig. 8.6. (c)) continua en todo su dominio.

Al mirar con un poco de cuidado las gráficas de la fig. 8.6., se pueden deducir intuitivamente, resultados que permitirán comprender con mayor claridad la definición precisa de lo que significa: "ser una función continua en un punto dado de su dominio".
En la gráfica de la fig. 8.6. (a) se tiene:
i.

. (Existe).
ii. f(a) existe.
Pero,

. (Por esta razón f es discontinua) ¿Qué le sucede a la gráfica si f(a)= L?
Para la gráfica de la fig. 8.6. (b) se tiene:
i.

No existe. (Por esta razón f es discontinua)
ii. f(a) = L1(Existe).
Finalmente, para la gráfica de la fig. 8.6. (c) se tiene:
i.

. (Existe).
(Por esta razón f es discontinua)
ii. f(a) (Existe).
iii.

Estas tres condiciones son las que en última instancia, permiten deducir intuitivamente que la función cuya gráfica aparece en la fig. 8.6. (c) es continua en el punto a.
Lo anterior nos permite establecer la siguiente definición.
Definición:
Una función f es CONTINUA EN x = a, si y solo si se satisfacen las siguientes condiciones:
i. f(a) existe.
ii.

existe.
iii.

Si al menos una de estas tres condiciones deja de cumplirse se dice que f es DISCONTINUA(NO CONTINUA) en x = a.
Observaciones:
i. Si en la definición anterior, sustituimos

por

o por

, se dice entonces que f es continua a la derecha, respectivamente, a la izquierda del punto x = a.
ii. Algunos autores adoptan como definición de continuidad en un punto, la condición iii. de la definición anterior, esto es, f es continua en x = a, si y solo si,

.
iii. Si en la definición de continuidad se hace: x = a + h; con a y (a + h) en el dominio de f, se dice entonces, que f es continua en a si y solo si,

.
iv. Si f es discontinua en x = a y

existe pero es diferente de f(a), se dice que la discontinuidad es REMOVIBLE O EVITABLE. En caso contrario, se dice que la discontinuidad es ESENCIAL.
Asi por ejemplo, la gráfica de la fig. 8.6. (a) corresponde a la gráfica de una función con discontinuidad Removible o evitable en x = a. Mientras que la gráfica de la fig. 8.6. (b) corresponde a la gráfica de una función con discontinuidad ESENCIAL en x = a.
v. Cuando una función tiene discontinuidad removible en un punto, se usa la frase "Remover la discontinuidad" para indicar que se puede redefinir la función haciendo que:

y de esta manera obtener una nueva función continua en x = a.Considere por ejemplo, la función f definida por:

La gráfica de la función aparece en la fig. 8.7.

fig. 8.7.
Si se analiza la continuidad de f en el punto x = 0, se tiene:
i.

(Existe)
ii.f (0) = 3 (Existe)
Pero,

; lo que indica que f es discontinua en x = 0. Ahora, como

, la discontinuidad es evitable.
Se puede entonces, "remover" o "evitar" la discontinuidad, redefiniendo una nueva función de tal forma que

. Esto es, redefiniendo a f asi:

Esta nueva función es continua en x = 0.
Es de anotar que la función f se ha redefinido y por lo tanto, no se trata de la misma función. ¿Porqué?
8.3.1. Teoremas sobre funciones continuas. Los siguientes teoremas, que se enuncian sin demostración, señalan importantes propiedades de las funciones continuas y son al mismo tiempo herramientas útiles que permiten deducir, en muchos casos, la continuidad de una función, sin recurrir directamente al empleo de la definición.
TEOREMA 1. (Algebra de funciones continuas)
Sean f, g dos funciones continuas en el punto x = a. Entonces:

i. (f + g) es continua en x = a. (Suma de funciones continuas es continua).

ii. (f – g) es continua en x = a. (Diferencia de funciones continuas es continua).

iii. (f × g) es continua en x = a. (Producto de funciones continuas es continua).

iv.

es continua en x = a, si g(a) ¹ 0. (Cociente de funciones continuas es continua).
Consecuencias:

C.C.1. La función polinómica es continua en todo punto del eje real. En efecto, sea una función polinómica de grado n.

Sea a un punto cualquiera del eje real. Al aplicar sucesivamente el teorema 1 en sus partes i., ii. y iii se obtiene que:

y de aquí, Pn (x)es una función continua en todo punto del eje real.

C.C.2. Toda función racional es continua en los puntos que no anulen el denominador de la función.

Demostración: aplicar el teorema 1.

TEOREMA 2. (Límite de la función compuesta)
Sean f y g dos funciones tales que: f es continua en b y

. Entonces:

.
Algunas consecuencias importantes de este teorema son las siguientes:
C.C.3. Si

, entonces,

. Cuando nsea par, se debe cumplir además que b > 0.

C.C.4. Si, entonces,

Las consecuencias C.C.3. y C.C.4., se expresan respectivamente en palabras de la siguiente forma: "El límite de la raiz n-sima, es la raiz n-sima del límite y "El límite del valor absoluto, es el valor absoluto del límite".

C.C.5. (Continuidad de la función compuesta). Si g es continua en a y f es continua en
g(a), entonces (f o g) (x) = f (g(x)) es continua en a.

8.3.2. Continuidad En Un Intervalo
Definiciones:

i. Una función f es continua en un INTERVALO ABIERTO si y solo si, f es continua en TODOpunto del intervalo.

ii.Una función f es continua en un INTERVALO CERRADO [a, b] si y solo si, f es continua en el intervalo abierto (a, b), continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b.
Definiciones similares se establecen para la continuidad de una función en un intervalo semiabierto de cualquiera de las formas: (a, b] ó [a, b).
Asi por ejemplo, la función

(mayor entero menor o igual a x), es continua en los intervalos de la forma

ü , ya que en cada uno de estos intervalos, la función es constante.
Considere también la función f definida por:

y cuya gráfica aparece en la fig. 8.8.
Se desea analizar la continuidad de f en el intervalo [-1, 3]

fig. 8.8.

1.Continuidad en el intervalo abierto (-1, 3). Se analiza la continuidad sólo en el punto x = 2, ya que en los demás puntos del intervalo f es continua por ser polinómica en cada tramo.Continuidad en x = 2
i. f(2) = 4
ii.

iii.

De i., ii., y iii. se concluye que f es continua en x = 2 y por lo tanto fes continua en el intervalo (-1, 3).

2. Continuidad por la derecha del punto x = -1
i. f(-1) = (-1)2 = 1 (Existe)
ii.

(Existe)
iii.

Luego f es continua por la derecha del punto x = -1.
3. Continuidad por la izquierda del punto x = 3
i. f(3) = 3 + 2 = 5 (Existe)
ii.

(Existe)
iii.

Asi que f es continua por la izquierda del punto x = 3.
De 1. 2. y 3. se concluye de acuerdo a la definición, que f es continua en el intervalo cerrado [-1, 3].

El estudio de la discontinuidad de funciones es muy útil para sacar los puntos o los tramos de una función en los que es continua o discontinua.

Una función f es discontinua en a (o tiene una discontinuidad en a) si se cumplen al menos una de estas tres condiciones:

No existe la función en a, es decir, no existe la imagen de a:
No existe el límite de f en el punto x = a:
La imagen de a y el límite de la función en a son diferentes.
Cuando una función es discontinua en un punto, se pueden producir tres tipos de discontinuidades:
Discontinuidad evitable
Una función f tiene una discontinuidad evitable en a si se cumplen las dos condiciones siguientes:
- Existe el límite en a y éste es finito.
  - La imagen de a no existe o si existe no coincide con su límite.
- Se dice que la discontinuidad es evitable porque se podría evitar definiendo la imagen de a como el valor de su límite en este punto.
  Ver ejemplo de discontinuidad evitable
  Discontinuidad inevitable
  Una función f tiene una discontinuidad inevitable en a si los límites laterales existen pero no coinciden, es decir:
  Se dice que la discontinuidad es inevitable porque no existe ninguna forma de juntar los dos laterales en a al ser distintos.
  Definiremos como el salto a la diferencia en valor absoluto de los límites laterales.
  Según si el salto es finito o infinito se clasifica la discontinuidad inevitable en:
  - Discontinuidad inevitable de salto finito
    El salto que se produce entre límites laterales es un número real finito. También se llama discontinuidad inevitable finita.
  - Discontinuidad inevitable de salto infinito
    El salto que se produce entre límites laterales es infinito.
    En este caso, también se llama discontinuidad inevitable infinita.
    Discontinuidad esencial
    Una función f tiene una discontinuidad esencial en a si no existe un límite lateral o no existen ambos:
    
    Por ejemplo, en el gráfico que tenemos arriba, la función tiene una discontinuidad esencial en , al no tener límite lateral por la izquierda en x=1.